Algèbre
En Algèbre, trois thèmes sont principalement étudiés : premièrement, la théorie des formes quadratiques (déploiement des formes quadratiques et bilinéaires, isotropie des quadriques, descente pour les formes quadratiques, Groupe de Witt, formes différentielles, décomposabilité des algèbres simples centrales), deuxièmement les théories cohomologiques sur les schémas (groupes de Witt des schémas, K-théorie, cobordisme algébrique, théorie homotopique) et enfin, l’Algèbre non commutative (extensions d’anneaux, fonctions symétriques non commutatives, algèbres de Hopf, groupes quantiques).
Analyse fonctionnelle
En Analyse Fonctionnelle, les deux directions principales de recherche sont l’étude des opérateurs de composition sur certains espaces de fonctions analytiques, et la dynamique des opérateurs linéaires (hypercyclicité, chaos, hypercyclicité fréquente, ergodicité). Ces deux thématiques sont fortement liées à la géométrie des espaces de Banach (ou plus généralement des espaces de Fréchet), à l’analyse complexe et à l’analyse harmonique.
Géométrie
La Géométrie recouvre plusieurs aspects : Géométrie Algébrique (surfaces rationnelles associées aux solitons elliptiques scalaires et matriciels de KdV et potentiels de Schrödinger du type finite-gap et doublement périodiques. Invariants différentiels, fibrés vectoriels de rang 2 sur les surfaces); Physique Mathématique, plus particulièrement la quantification par déformation, les représentations des groupes de Lie, et leur application à la caractérisation des opérateurs différentiels équivariants; Singularités ((co)homologies d’intersection, dualité de Poincaré et feuilletages riemanniens singuliers).
Didactique des mathématiques et Histoire des mathématiques
L’équipe de Didactique des Mathématiques organise son travail autour de deux axes. Le premier vise à la production de ressources et au développement professionnel des enseignants (projet EDU-HM). Le second s’intéresse à l’étude des phénomènes langagiers dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques (projet LEMME).
Histoire des théories et concepts mathématiques. G. Jouve est impliqué dans le projet d’édition critique et commentée des œuvres complètes de D’Alembert, responsable de la série III. Il s’intéresse également à l’histoire des équations aux dérivées partielles sur la période 1750-1850, articulant les mathématiques pures et les sciences physico-mathématiques. T. Morel travaille depuis plusieurs année sur l’histoire de la géométrie souterraine, une discipline mathématique pratique qui a pris son essor au XVIe siècle dans l’espace germanophone. T. Préveraud et T. Morel étudient les circulations des mathématiques sur une période de temps long, avec comme support spécifique les journaux. La question de la traduction entre deux espaces linguistes et mathématiques est une thématique commune à plusieurs chercheurs du groupe. Elle a pour objet l’étude des processus de transfert, d’adaptation et d’hybridation entre l’émission et la réception du texte mathématique, essentiellement du XVIIe au XIXe siècle, dans un mouvement accru de circulation internationale du savoir.